Lyapunov đóng góp cho nhiều lĩnh vực, bao gồm phương trình vi phân, lý thuyết thế, hệ thống động học và lý thuyết xác suất. Quan tâm chính của ông là độ ổn định của cân bằng chuyển động của hệ thống cơ học, lý thuyết mẫu về sự ổn định của chất lỏng rối đồng dạng, và nghiên cứu các hạt dưới ảnh hưởng của trọng trường. Sự nghiệp của ông trong nhiều lĩnh vực của vật lý toán liên quan đến bài toán giá trị biên của phương trình Laplace. Trong lý thuyết thế, công trình của ông từ 1987 Về vài vấn đề liên kết với bài toán Dirichlet's làm rõ nhiều vấn đề quan trọng của lý thuyết thế. Các công trình của ông trong lĩnh vực này có liên hệ chặt chẽ với các công trình của Steklov. Lyapunov đã phát triển nhiều phương pháp xấp xỉ quan trọng. Các phương pháp của ông, được phát triển vào năm 1899, giúp định nghĩa độ ổn định của tập hợp các phương trình vi phân thông thường. Ông cũng sáng tạo ra lý thuyết hiện đại về độ ổn định của một hệ thống động lực. Trong lý thuyết xác suất, ông tổng hợp hóa các công trình của Chebyshev và Markov, và chứng minh định lý giới hạn trung tâm dưới nhiều điều kiện tổng quát hơn những người đi trước. Phương pháp của ông được sử dụng cho nhiều phép chứng minh được phổ biến rộng rãi sau đó trong lý thuyết xác suất.[1]

Giống nhiều nhà toán học, Lyapunov thích làm việc một mình hơn và giao tiếp chủ yếu với một vài đồng nghiệp và người thân. Ông thường làm việc đến khuya, 4-5 giờ vào ban đêm, đôi khi ông làm việc cả đêm. Một hoặc hai lần một năm ông đi nhà hát, hoặc đi xem một số buổi hòa nhạc. Ông có nhiều sinh viên. Ông là thành viên danh dự của nhiều trường đại học, thành viên danh dự của Học viện ở Roma và đồng thời là thành viên của Học viện Khoa học ở Paris.[1]